Историческая обложка книги Игнатьева «В царстве смекалки».
Игнатьев Е. И. В царстве смекалки или арифметика для всех. — Ч. 1-3 — СПб, В. Л. Богушевский, 1908–1911 Обложка исторического издания Е. И. Игнатьева, 1908–1911; архивная репродукция.

«Всё есть число», — сказал Пифагор, объясняя все явления мира в числах. А мы теперь попробуем показать, что квадраты чисел возникают из «Круга Пифагора».

Знакомим вас со старинной задачей из книги «В царстве смекалки» Емельяна Игнатьевича Игнатьева:

«Будем писать по кругу ряд последовательных чисел от 1 до какого-либо числа, то есть ряд чисел 1, 2, 3, 4, …, n. Дойдя до этого наперёд заданного себе числа n, продолжаем писать по кругу те же числа, но в обратном уменьшающемся порядке, пока не напишем опять единицу, — то есть пишем n – 1, n – 2, …, 2, 1. Тогда сумма всех чисел, написанных в круге, даёт квадрат числа n (то есть число n, умноженное само на себя)».

Так, например, если желаем найти квадрат числа 7, пишем:

Числа от 1 до 7 и обратно до 1 расположены по кругу; их сумма равна 49.
Сложив все числа этого круга получим: 49 = 7² Числовая схема к задаче Е. И. Игнатьева; архив редакционного проекта.

Сложив все числа этого круга, действительно получим 49=7^2.

Попробуйте сами, например, аналогично найти квадрат 10. Ну а мы попросим вас объяснить (доказать), почему это так получается.

Доказательство

\begin{aligned} (1+2+\cdots+(n-1))&\\ +n+((n-1)+(n-2)+\cdots+1)&\\ =n(n-1)+n&=n^2. \end{aligned}

Историческая справка

Ямвлих на гравюре Иоганна Теодора де Бри, 1615 год.
Ямвлих Халкидский. Гравюра Иоганна Теодора де Бри для «Tractatus posthumus de divinatione & Magicis Præstigiis» Жана-Жака Буассара, Оппенгейм, 1615. Национальная библиотека Испании. Подпись на гравюре: «Utilius fuerat nobis nescire futura. Cogor enim irato fata Valente pati». Иоганн Теодор де Бри, 1615; Национальная библиотека Испании. · Источник · Public domain

Ямвлих Халкидский (ок. 245–325 н. э.) — философ-неоплатоник и автор труда «О пифагоровой жизни».

Ранее опубликовано: «Числовой круг пифагорейцев».

Примечания

Емельян Игнатьевич Игнатьев (1869–1923) — российский и советский педагог-математик и автор научно-популярных книг. Наиболее известное произведение Игнатьева — «В царстве смекалки», выпущенное в 1908–1911 гг. в трёх томах.

Ямвлих. О Пифагоровой жизни / Пер. с древнегреч. И. Ю. Мельниковой. — М.: Алетейа, 2002. — 192 с.