Понятие совершенного числа (анг. perfect number) было введено пифагорейцами в VI веке до н. э.
Если сумма всех натуральных делителей числа, кроме самого числа, соответственно меньше, больше или равно данного числа, то оно называлось недостаточным, избыточным или совершенным. Например, 10 — недостаточное число, 12 — избыточное, 6 — совершенное:
Совершенным числам пифагорейцы придавали особое значение. С тех пор в теории чисел стоит открытым вопрос о бесконечности множества совершенных чисел.
По состоянию на 2019 год было известно 51 чётное совершенное число: 6, 28, 496, 8128, … Наибольшее из известных тогда — 2^{82589932}(2^{82589933}-1) — содержит 49 724 095 цифр. Совершенные числа образуют последовательность A000396 в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей OEIS.
Греческие математики (в частности, Евклид) выяснили, что совершенные числа можно искать в виде: 2^{n-1}(2^n-1), так как, если (2^n-1) — простое число (это так называемые простые числа Марина Мерсенна (Mersenne prime)) для простого числа n, то это число — совершенное.
Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между чётными совершенными числами и простыми числами Мерсенна. Каждое простое число Мерсенна порождает одно чётное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида–Эйлера. Недавно найденные простые числа Мерсенна были обнаружены в рамках Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), проекта распределённых вычислений.
Известно, что нечётных совершенных чисел до 10^{1500} нет. Неизвестно, есть ли они вообще.
С середины XX века, с появлением компьютерных технологий, стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. Только тогда продолжились дальнейшие поиски больших совершенных чисел.
Поражает интуиция пифагорейцев, задолго до нашей эры отыскавших математическую проблему, нерешённую и по сей день. Мистический восторг пифагорейцев перед совершенством совершенных чисел продолжался и в учениях отцов церкви. Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в некоторых культурах и религиях, утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и что Луна совершает оборот вокруг Земли за 28 дней.
Совершенные числа и сегодня остаются интересным объектом исследований в теории чисел.
Про совершенные числа и арифметику пифагорейцев читайте в книге Мансура Гильмуллина «История математики».
Ранее опубликовано: «Арифметика пифагорейцев: совершенные числа».